9. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения 50^(3-sin 5x) = 6250000.

Решение:

Перепишем уравнение, выразив правую часть как степень 50:

\( 6250000 = 625 \times 10000 = 5^4 \times 10^4 = (5 \times 10)^4 = 50^4 \).

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 50^{3 - \sin 5x} = 50^4 \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ 3 - \sin 5x = 4 \]

\[ -\sin 5x = 4 - 3 \]

\[ -\sin 5x = 1 \]

\[ \sin 5x = -1 \]

Общее решение уравнения \( \sin y = -1 \) имеет вид \( y = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

В градусах это \( y = 270° + 360° k \).

Подставляем \( y = 5x \):

\[ 5x = 270° + 360° k \]

Разделим обе части на 5:

\[ x = \frac{270°}{5} + \frac{360° k}{5} \]

\[ x = 54° + 72° k \]

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого подставим отрицательные целые значения \( k \) и посмотрим, когда \( x \) станет отрицательным, а затем найдем наибольшее такое значение.

• При \( k = 0 \): \( x = 54° \) (положительный).
• При \( k = -1 \): \( x = 54° + 72°(-1) = 54° - 72° = -18° \).
• При \( k = -2 \): \( x = 54° + 72°(-2) = 54° - 144° = -90° \).
• При \( k = -3 \): \( x = 54° + 72°(-3) = 54° - 216° = -162° \).

Наибольший отрицательный корень достигается при \( k = -1 \).

Ответ: -18°.