7. В треугольнике ABC AC = BC, AH — высота, AB = 8, cos BAC = 0,5. Найдите BH.

Поскольку \(AC=BC\), треугольник равнобедренный, а высота \(AH\), проведённая к боковой стороне \(BC\), одновременно является медианой к этой стороне. Следовательно, \(BH=\dfrac{BC}{2}\).

В треугольнике \(ABC\) угол \(A=60^\circ\), так как \(\cos A=0.5\). По теореме косинусов:

\[BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A.\]

Положим \(AC=BC=x\). Тогда

\[x^2=8^2+x^2-2\cdot8x\cdot\frac12=64+x^2-8x.\]

Отсюда \(8x=64\), \(x=8\). Поэтому

\[BH=\frac82=4.\]

Ответ: \(4\).