8. В треугольнике ABC AC = BC = 4√15, sin BAC = 0,25. Найдите высоту AH.

Так как \(AC=BC\), углы при основании равны: \(\angle A=\angle B\). Следовательно, \(\sin B=\sin A=0.25\).

Высота \(AH\) к стороне \(BC\) равна произведению стороны \(AB\) на синус угла между \(AB\) и \(BC\):

\[AH=AB\sin B.\]

По теореме синусов:

\[\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}.\]

Так как \(C=180^\circ-2A\), а \(\sin A=\frac14\), \(\cos A=\frac{\sqrt{15}}4\), то \(\sin C=\sin2A=2\sin A\cos A=\frac{\sqrt{15}}8\). Поэтому

\[AB=4\sqrt{15}\cdot\frac{\sqrt{15}/8}{1/4}=30.\]

Тогда \(AH=30\cdot\frac14=\dfrac{15}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{15}{2}\).