74. По данным на рисунке найдите площадь трапеции ABCD. BC = 3, CD = 6, AD ∥ BC, ∠ABD = 90°, CD ⟂ AD.

Высота трапеции равна \(CD=6\). Обозначим горизонтальную проекцию отрезка \(BD\) на основание через 3: это расстояние между вертикалями через B и D, поскольку \(BC=3\).

Из \(AB\perp BD\) следует, что горизонтальная длина основания \(AD\) равна \(BC+CD^2/BC=3+36/3=15\): действительно, при высоте 6 наклон \(BD\) имеет отношение вертикального изменения к горизонтальному \(6:3\), а перпендикулярный ему \(AB") имеет горизонтальную проекцию \(6\cdot(6/3)=12\); поэтому \(AD=12+3=15\).

Проверка через координаты: положим \(D=(0,0), C=(0,6), B=(-3,6)\). Тогда \(AB\perp BD\) даёт для \(A=(x,0)\): \((-3-x,6)\cdot(3,-6)=0\), откуда \(x=-15\), следовательно, \(AD=15\).

\(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{15+3}{2}\cdot6=54\).

Ответ: 54.