75. ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями 6 и 10; BD ⟂ AB. Найдите S_ABCD.

Пусть боковые проекции равны \(x\), а высота трапеции равна \(h\). Так как трапеция равнобедренная, разность оснований распределяется поровну: \(x=(10-6)/2=2\).

Векторы \(\overrightarrow{AB}=(2,h)\) и \(\overrightarrow{BD}=(8,-h)\). Из перпендикулярности их скалярное произведение равно нулю: \(2\cdot8-h^2=0\), поэтому \(h=4\).

\(S=\frac{6+10}{2}\cdot4=32\).

Ответ: 32.