8. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 162, а один из углов равен 60°.

Задание 8. Меньший катет прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Гипотенуза \( c = 162 \).
• Один из углов равен 60°.

Найти: меньший катет.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Сумма углов равна 180°.
2. Другой острый угол равен \( 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
3. Меньший катет лежит напротив меньшего острого угла. В данном случае, напротив угла в 30°.
4. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
5. Пусть меньший катет равен \( a \).
6. \( a = \frac{1}{2} c \).
7. \( a = \frac{1}{2} \times 162 = 81 \).

Ответ: Меньший катет равен 81.