9. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусам. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 87. Найдите гипотенузу треугольника.

Задание 9. Гипотенуза прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Один из углов равен 60°.
• Сумма гипотенузы (c) и меньшего катета (a) равна 87: \( c + a = 87 \).

Найти: гипотенузу \( c \).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике один угол 90°. Другой острый угол равен \( 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
2. Меньший катет лежит напротив меньшего острого угла (30°).
3. Катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы: \( a = \frac{1}{2} c \).
4. Подставим это в уравнение суммы: \( c + \frac{1}{2} c = 87 \).
5. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 87 \).
6. \( \frac{3c}{2} = 87 \).
7. Найдем \( c \): \( c = \frac{87 \times 2}{3} = \frac{174}{3} = 58 \).

Ответ: Гипотенуза равна 58.