8) Решить уравнение \(1+7\cos^2x=3\sin2x\).

Так как \(\cos x=0\) не удовлетворяет исходному уравнению, делим на \(\cos^2x\) и используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\): \(\frac1{\cos^2x}+7=6\tan x\). Поскольку \(\frac1{\cos^2x}=1+\tan^2x\), получаем \(\tan^2x-6\tan x+8=0\).

Отсюда \((\tan x-2)(\tan x-4)=0\), значит, \(\tan x=2\) или \(\tan x=4\).

Ответ: \(x=\arctan2+\pi k\) или \(x=\arctan4+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).