8) sin 105° sin 75° + sin 15° cos 105°;

Решение:

Перепишем выражение, чтобы привести его к формуле синуса суммы:

\( \sin 105^{\circ} \sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ} \cos 105^{\circ} \) = \( \cos 105^{\circ} \sin 15^{\circ} + \sin 105^{\circ} \sin 75^{\circ} \)

Это выражение не совпадает с формулой синуса суммы \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) или разности. Похоже на ошибку в условии. Однако, если поменять местами множители во втором слагаемом:

\( \sin 15^{\circ} \cos 105^{\circ} + \sin 105^{\circ} \sin 75^{\circ} \)

Если предположить, что второе слагаемое должно быть \( \cos 105^{\circ} \cos 15^{\circ} \), тогда:

\( \sin 15^{\circ} \cos 105^{\circ} + \cos 15^{\circ} \sin 105^{\circ} \) (используя \( \cos 105^{\circ} = \sin 15^{\circ} \) и \( \sin 105^{\circ} = \cos 15^{\circ} \) неверно).

Правильно: \( \sin 105^{\circ} = \sin(90^{\circ} + 15^{\circ}) = \cos 15^{\circ} \). \( \sin 75^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) = \cos 15^{\circ} \). \( \sin 15^{\circ} \). \( \cos 105^{\circ} = \cos(90^{\circ} + 15^{\circ}) = -\sin 15^{\circ} \).

Подставим:

\( \cos 15^{\circ} \cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ} (-\sin 15^{\circ}) = \cos^2 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ} = \cos(2 \cdot 15^{\circ}) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).