9. Четырёхугольник XPFN вписан в окружность. Угол XPF равен 138°, угол FXN равен 29°. Найдите угол XPN. Ответ дайте в градусах.

В вписанном четырёхугольнике противоположные углы в сумме составляют 180°:

\(\angle XNF=180^\circ-138^\circ=42^\circ.\)

В треугольнике XFN:

\(\angle XFN=180^\circ-29^\circ-42^\circ=109^\circ.\)

Углы \(\angle XPF\) и \(\angle XNF\) — противоположные; чтобы найти \(\angle XPN\), используем тот факт, что \(\angle XPN\) опирается на дугу XN, не содержащую P. Данный \(\angle XFN=109^\circ\) опирается на дугу XN, не содержащую F; эти дуги дополняют друг друга до полного круга, поэтому соответствующие вписанные углы не дают прямой связи без уточнения расположения дуг. По изображённому порядку точек X–P–F–N углы \(\angle XPN\) и \(\angle XFN\) опираются на разные дуги XN, а их сумма равна 180°.

Следовательно, \(\angle XPN=180^\circ-109^\circ=71^\circ.\)

Ответ: 71°.