9. Докажите, что для любого множества $A$ верны равенства: а) $A\cap\varnothing=\varnothing$; б) $A\cup\varnothing=A$; в) $A\cap A=A$; г) $A\cup A=A$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9. Докажите, что для любого множества $A$ верны равенства: а) $A\cap\varnothing=\varnothing$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Докажем равенства по определению операций над множествами. Пусть $x$ — произвольный элемент.

а) Элемент не может принадлежать пустому множеству, поэтому не существует $x$, принадлежащего одновременно $A$ и $\varnothing$. Следовательно, $A\cap\varnothing=\varnothing$.
б) Условие $x\in A\cup\varnothing$ означает, что $x\in A$ или $x\in\varnothing$. Второе невозможно, поэтому $x\in A\cup\varnothing$ равносильно $x\in A$, и $A\cup\varnothing=A$.
в) Условие принадлежности $A\cap A$ равносильно $x\in A$ одновременно с самим собой, то есть просто $x\in A$. Поэтому $A\cap A=A$.
г) Условие $x\in A\cup A$ означает $x\in A$ или $x\in A$, что равносильно $x\in A$. Поэтому $A\cup A=A$.

9. Докажите, что для любого множества \(A\) верны равенства: а) \(A\cap\varnothing=\varnothing\); б) \(A\cup\varnothing=A\); в) \(A\cap A=A\); г) \(A\cup A=A\).