9. Докажите, что для произвольного треугольника ABC справедливы равенства: 1) α₁ + β₁ + γ₁ = 360°, 2) α₁ + β₁ = 180° + γ, где α₁, β₁, γ₁ - внешние углы при вершинах A, B и C, а γ - внутренний угол при вершине C.

1) Сумма внешних углов любого многоугольника равна 360°. Для треугольника это также справедливо. Пусть внутренние углы треугольника ABC равны α, β и γ. Тогда внешние углы будут α₁ = 180° - α, β₁ = 180° - β, γ₁ = 180° - γ. Сумма внешних углов: α₁ + β₁ + γ₁ = (180° - α) + (180° - β) + (180° - γ) = 540° - (α + β + γ). Так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то α + β + γ = 180°. Значит, α₁ + β₁ + γ₁ = 540° - 180° = 360°. 2) Используем ранее полученные результаты. α₁ = 180° - α, β₁ = 180° - β. Сложим внешние углы α₁ + β₁ = (180° - α) + (180° - β) = 360° - (α + β). Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то есть α + β + γ = 180°. Значит α + β = 180° - γ. Подставим это выражение: α₁ + β₁ = 360° - (180° - γ) = 360° - 180° + γ = 180° + γ. Таким образом, α₁ + β₁ = 180° + γ.