№ 9: Равнобокая трапеция ABCD, AB = CD = 7, AH = 3, BH ⟂ AD. Диагональ BD делит угол D пополам. Найдите AD.

В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB = 7, а AH = 3, поэтому BH = √(7² − 3²) = √40.

Пусть HD = x. Тогда AD = AH + HD = 3 + x. По условию BD — биссектриса угла D; так как AD ∥ BC, угол BDA равен углу DBC. Значит, в треугольнике BCD углы при B и D равны, откуда BC = CD = 7.

Но этого недостаточно для вычисления x: длины боковой стороны, высоты и нижнего свеса не определяют горизонтальный сдвиг трапеции однозначно без дополнительного условия. Равенство BC = CD здесь противоречит общему расположению? Оно не противоречит, но вместе с равнобокостью означает также AB = CD = 7; при этом равнобокая трапеция имеет равные горизонтальные свесы. Для равнобокой трапеции свес слева AH = 3, значит, HD = 3.

Следовательно, AD = 3 + 7 + 3 = 13.

Ответ: AD = 13.