209. a) f (x) = x³ (4 + 2x - x²);

Для нахождения производной функции f(x) = x³(4 + 2x - x²) сначала раскроем скобки:

$$f(x) = 4x^3 + 2x^4 - x^5$$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и разности функций, а также правило дифференцирования степенной функции:

$$f'(x) = (4x^3)' + (2x^4)' - (x^5)'$$

Производная степенной функции xⁿ равна nxⁿ⁻¹:

$$(4x^3)' = 4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$$

$$(2x^4)' = 2 \cdot 4x^{4-1} = 8x^3$$

$$(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$$

Тогда производная исходной функции:

$$f'(x) = 12x^2 + 8x^3 - 5x^4$$

Ответ: f'(x) = 12x² + 8x³ - 5x⁴