r) f (x) = √x (3x⁵ - x).

Для нахождения производной функции f(x) = √x (3x⁵ - x) сначала раскроем скобки:

$$f(x) = 3x^{5.5} - x^{1.5}$$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и разности функций, а также правило дифференцирования степенной функции:

$$f'(x) = (3x^{5.5})' - (x^{1.5})'$$

Производная степенной функции xⁿ равна nxⁿ⁻¹:

$$(3x^{5.5})' = 3 \cdot 5.5 x^{5.5-1} = 16.5x^{4.5}$$

$$(x^{1.5})' = 1.5 x^{1.5-1} = 1.5x^{0.5}$$

Тогда производная исходной функции:

$$f'(x) = 16.5x^{4.5} - 1.5x^{0.5} = 16.5x^4\sqrt{x} - 1.5\sqrt{x}$$

Ответ: $$f'(x) = 16.5x^4\sqrt{x} - 1.5\sqrt{x}$$