А₂. Упростите выражение \(\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos^2(\pi-x)}{\operatorname{tg}(-x)\cdot\operatorname{ctg}(-x)}\). 1) \(2\sin^2x\); 2) 0; 3) \(2\cos^2x\); 4) \(-2\cos^2x\).

Question

Вопрос:

А₂. Упростите выражение \(\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos^2(\pi-x)}{\operatorname{tg}(-x)\cdot\operatorname{ctg}(-x)}\). 1) \(2\sin^2x\); 2) 0; 3) \(2\cos^2x\); 4) \(-2\cos^2x\).

Accepted Answer

Используем тождества: \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\), \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), а произведение тангенса и котангенса одного аргумента равно 1.

Числитель равен \(\cos^2x+(-\cos x)^2=2\cos^2x\), знаменатель равен 1. Поэтому всё выражение равно \(2\cos^2x\).

Ответ: 3) \(2\cos^2x\).