46. а) В равнобедренном треугольнике АВС АС = BC, AN медиана, АВ = 8, AN 7. Найдите длину медианы, проведенной к стороне АС.

В равнобедренном треугольнике ABC, где AC = BC и AN - медиана, проведенная к стороне AC, а также известны длины AB = 8 и AN = 7. Требуется найти длину медианы, проведенной к стороне AC.

Решение:

Обозначим медиану, проведенную к стороне AC, как BM, где M - середина AC. Поскольку треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то медиана BM также является высотой и биссектрисой.

1. Рассмотрим треугольник ABM. Он является прямоугольным (так как BM - высота). Применим теорему Пифагора: $$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

2. Найдём AM. Так как M - середина AC, то AM = AC/2. Но мы не знаем AC. Однако, мы знаем, что AN - медиана, проведенная к стороне BC, и AN = 7. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны, т.е. медиана, проведенная из точки C к стороне AB, также равна 7.

3. Пусть N - середина BC, тогда BN = BC/2. Рассмотрим треугольник ABN. $$AN^2 = AB^2 + BN^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BN \\cdot cosB$$

4. Найдем косинус угла B. Так как AC = BC, то углы при основании AB равны. Угол BAC = углу ABC = B.

5. В треугольнике ABC $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot cosB$$

Поскольку AC = BC, обозначим их как x. Тогда: $$x^2 = 8^2 + x^2 - 2 \\cdot 8 \\cdot x \\cdot cosB$$

$$0 = 64 - 16x \\cdot cosB$$

$$cosB = \\frac{64}{16x} = \\frac{4}{x}$$

6. Вернёмся к медиане AN и треугольнику ABN.

$$AN^2 = AB^2 + BN^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BN \\cdot cosB$$

$$7^2 = 8^2 + (\\frac{x}{2})^2 - 2 \\cdot 8 \\cdot \\frac{x}{2} \\cdot \\frac{4}{x}$$

$$49 = 64 + \\frac{x^2}{4} - 32$$

$$\\frac{x^2}{4} = 49 - 64 + 32 = 17$$

$$x^2 = 68$$

$$x = \\sqrt{68} = 2\\sqrt{17}$$

Итак, $$AC = 2\\sqrt{17}$$

7. Теперь найдем AM: $$AM = \\frac{AC}{2} = \\frac{2\\sqrt{17}}{2} = \\sqrt{17}$$

8. Рассмотрим треугольник ABM. $$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

$$8^2 = (\\sqrt{17})^2 + BM^2$$

$$64 = 17 + BM^2$$

$$BM^2 = 64 - 17 = 47$$

$$BM = \\sqrt{47}$$

Медиана, проведённая к стороне АС, равна $$\\sqrt{47}$$

Ответ: $$\sqrt{47}$$