б) В равнобедренном треугольнике АВС АС = BC, AN - биссектриса, СВ = 25, AN = 11. Найдите длину биссектрисы, проведенной к стороне АС.

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) проведена биссектриса AN, CB = 25, AN = 11. Необходимо найти длину биссектрисы, проведённой к стороне AC. Обозначим биссектрису из вершины B как BM.

1. Пусть AC = BC = 25. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании AB равны: ∠BAC = ∠ABC. AN - биссектриса, следовательно, ∠NAC = ∠NAB.

2. По теореме косинусов для треугольника ABC:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \\cdot AC \\cdot BC \\cdot cos∠ACB$$

3. Применим теорему косинусов для треугольника ABN, где AN = 11 и BN = BC/2 = 25/2 = 12.5

$$AN^2 = AB^2 + BN^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BN \\cdot cos∠ABC$$

$$11^2 = AB^2 + 12.5^2 - 2 \\cdot AB \\cdot 12.5 \\cdot cos∠ABC$$

$$121 = AB^2 + 156.25 - 25 \\cdot AB \\cdot cos∠ABC$$

4. Применим теорему косинусов для треугольника ABC:

$$AB^2 = 25^2 + 25^2 - 2 \\cdot 25 \\cdot 25 \\cdot cos∠C$$

$$AB^2 = 1250 - 1250 \\cdot cos∠C$$

5. Пусть BM - биссектриса, проведённая к стороне AC. Обозначим AM = MC = AC/2 = 25/2 = 12.5. Применим теорему косинусов для треугольника ABM.

$$BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \\cdot AB \\cdot AM \\cdot cos∠BAC$$

$$BM^2 = AB^2 + 12.5^2 - 2 \\cdot AB \\cdot 12.5 \\cdot cos∠BAC$$

6. В равнобедренном треугольнике ∠BAC = ∠ABC. Выразим косинус угла ABC из уравнения:

$$121 = AB^2 + 156.25 - 25 \\cdot AB \\cdot cos∠ABC$$

$$25 \\cdot AB \\cdot cos∠ABC = AB^2 + 156.25 - 121$$

$$cos∠ABC = \\frac{AB^2 + 35.25}{25 \\cdot AB}$$

7. Подставим косинус угла в уравнение для BM:

$$BM^2 = AB^2 + 156.25 - 2 \\cdot AB \\cdot 12.5 \\cdot \\frac{AB^2 + 35.25}{25 \\cdot AB}$$

$$BM^2 = AB^2 + 156.25 - (AB^2 + 35.25)$$

$$BM^2 = AB^2 + 156.25 - AB^2 - 35.25$$

$$BM^2 = 121$$

$$BM = \\sqrt{121} = 11$$

Ответ: 11