А3. В трапеции ABCD с основаниями BC = 3a и AD = 7a; AN = NB и CM = MD. Найдите величину \(|\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MD}|\). 1) 5a; 2) 4a; 3) 6a; 4) 10a.

Пусть основания направлены слева направо. Так как N и M — середины боковых сторон, \(\overrightarrow{AN}= frac12\overrightarrow{AB}\), а \(\overrightarrow{MD}= frac12\overrightarrow{CD}\).

Тогда \(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{MD}= frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})= frac12(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC})\). Это вектор длины \((7a-3a)/2=2a\), направленный так же, как основания. Прибавляя \(\overrightarrow{BC}\) длины \(3a\), получаем величину \(5a\).

Ответ: 1) 5a.