17 703(a) lim 3x²-6x+3 x→1 x²-1 lim sin πx x→1 x-1

Решим первый предел:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 6x + 3}{x^2 - 1} $$ Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $$ 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2 $$ Знаменатель: $$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$ Тогда предел можно переписать как: $$ \lim_{x \to 1} \frac{3(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} $$ Сокращаем (x - 1) в числителе и знаменателе: $$ \lim_{x \to 1} \frac{3(x - 1)}{x + 1} $$ Теперь подставим x = 1: $$ \frac{3(1 - 1)}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0 $$

Решим второй предел:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{x - 1} $$ Сделаем замену переменной: $$ y = x - 1 $$, тогда $$ x = y + 1 $$. Когда $$ x \to 1 $$, то $$ y \to 0 $$. Тогда предел можно переписать как: $$ \lim_{y \to 0} \frac{\sin(\pi (y + 1))}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin(\pi y + \pi)}{y} $$ Так как $$ \sin(\pi y + \pi) = - \sin(\pi y) $$, то предел можно переписать как: $$ \lim_{y \to 0} \frac{-\sin(\pi y)}{y} = -\pi \lim_{y \to 0} \frac{\sin(\pi y)}{\pi y} $$ Используя первый замечательный предел, получаем: $$ -\pi \cdot 1 = -\pi $$

Ответ: 0; -π