15 699(в) lim x³-3x2 x→-1 x⁴+2x+1 lim 4x+7 x→0 x²-5x+1

Решим первый предел:

$$ \lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 3x^2}{x^4 + 2x + 1} $$

Подставим x = -1 в числитель и знаменатель: Числитель: $$ (-1)^3 - 3(-1)^2 = -1 - 3 = -4 $$ Знаменатель: $$ (-1)^4 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 $$ Так как предел имеет вид $$ \frac{-4}{0} $$, то предел равен бесконечности. Необходимо определить знак бесконечности.

Рассмотрим знаменатель $$ x^4 + 2x + 1 $$. Заметим, что при x = -1 знаменатель равен 0. Производная знаменателя равна $$ 4x^3 + 2 $$. В точке x = -1 она равна $$ 4(-1)^3 + 2 = -4 + 2 = -2 $$. Это означает, что при x > -1 знаменатель отрицательный, а при x < -1 знаменатель положительный. Таким образом, предел слева равен $$ +\infty $$, а предел справа равен $$ -\infty $$. Следовательно, предел не существует.

Решим второй предел: $$ \lim_{x \to 0} \frac{4x + 7}{x^2 - 5x + 1} $$ Подставим x = 0 в числитель и знаменатель: Числитель: $$ 4(0) + 7 = 7 $$ Знаменатель: $$ (0)^2 - 5(0) + 1 = 1 $$ Следовательно, предел равен: $$ \frac{7}{1} = 7 $$

Ответ: Не существует; 7