B1. Решите биквадратное уравнение 2х⁴ – 19x² + 9 = 0

Разбор задания:

Это биквадратное уравнение. Решается заменой переменной.

1. Вводим замену:
• Пусть \( t = x^2 \). Так как \( x^2 \) всегда неотрицательно, то \( t ≥ 0 \).
• Уравнение примет вид: \( 2t^2 - 19t + 9 = 0 \)
2. Решаем квадратное уравнение относительно 't':
• Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
• \[ D = (-19)^2 - 4 \times 2 \times 9 = 361 - 72 = 289 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \]
• Находим корни для 't':
• \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 17}{2 \times 2} = \frac{36}{4} = 9 \]
• \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 17}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = 0.5 \]
3. Возвращаемся к исходной переменной 'x':
• У нас \( t = x^2 \) и \( t ≥ 0 \). Оба найденных значения \( t_1 = 9 \) и \( t_2 = 0.5 \) подходят.
• Случай 1: \( x^2 = 9 \) => \( x = ±3 \)
• Случай 2: \( x^2 = 0.5 \) => \( x^2 = \frac{1}{2} \) => \( x = ±\sqrt{\frac{1}{2}} = ±\frac{1}{\sqrt{2}} = ±\frac{\sqrt{2}}{2} \)
4. Итоговые корни: \( x = 3, x = -3, x = \frac{\sqrt{2}}{2}, x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Разложение на множители (не требуется по условию, но для информации):
• \( 2(x-3)(x+3)(x - \frac{\sqrt{2}}{2})(x + \frac{\sqrt{2}}{2}) \)

Ответ: Корни уравнения: 3; -3; \(\frac{\sqrt{2}}{2}\); -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)