B1. Решите биквадратное уравнение 2х⁴ – 19x² + 9 = 0

Биквадратное уравнение имеет вид \( ax^4 + bx^2 + c = 0 \). Для его решения сделаем замену переменной.

Уравнение: \( 2x^4 - 19x^2 + 9 = 0 \)

1. Сделаем замену: Пусть \( t = x^2 \). Тогда \( x^4 = (x^2)^2 = t^2 \).
2. Подставим замену в уравнение:

   \( 2t^2 - 19t + 9 = 0 \)

3. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта:

   \( D = b^2 - 4ac \)

   \( D = (-19)^2 - 4(2)(9) \)

   \( D = 361 - 72 \)

   \( D = 289 \)

   \( \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \)

4. Найдем значения \( t_1 \) и \( t_2 \):

   \( t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-19) - 17}{2(2)} = \frac{19 - 17}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

   \( t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-19) + 17}{2(2)} = \frac{19 + 17}{4} = \frac{36}{4} = 9 \)

5. Вернемся к замене \( t = x^2 \) и найдем \( x \):
   • Случай 1: \( t_1 = \frac{1}{2} \)

     \( x^2 = \frac{1}{2} \)

     \( x = ±\sqrt{\frac{1}{2}} = ±\frac{1}{\sqrt{2}} = ±\frac{\sqrt{2}}{2} \)

   • Случай 2: \( t_2 = 9 \)

     \( x^2 = 9 \)

     \( x = ±\sqrt{9} = ±3 \)

Таким образом, корни биквадратного уравнения: \( x = 3, x = -3, x = \frac{\sqrt{2}}{2}, x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: 3; -3; \(\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)