B2. Решите уравнение x/(x+3) + (x-6)/(x-3) = 1

Для решения данного уравнения сначала приведем все дроби к общему знаменателю.

Уравнение: \( \frac{x}{x+3} + \frac{x-6}{x-3} = 1 \)

Важно: Знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому \( x
eq -3 \) и \( x
eq 3 \).

1. Найдем общий знаменатель: \( (x+3)(x-3) \).
2. Приведем дроби к общему знаменателю:

   \( \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{(x-6)(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 1 \)

3. Сложим числители:

   \( \frac{x(x-3) + (x-6)(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 1 \)

4. Раскроем скобки в числителе:

   \( x^2 - 3x + (x^2 + 3x - 6x - 18) = 1 \)

   \( x^2 - 3x + x^2 - 3x - 18 = 1 \)

   \( 2x^2 - 6x - 18 = 1 \)

5. Перенесем 1 в левую часть и приравняем уравнение к нулю:

   \( 2x^2 - 6x - 18 - 1 = 0 \)

   \( 2x^2 - 6x - 19 = 0 \)

6. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( x \) с помощью дискриминанта:

   \( D = b^2 - 4ac \)

   \( D = (-6)^2 - 4(2)(-19) \)

   \( D = 36 + 152 \)

   \( D = 188 \)

   \( \sqrt{D} = \sqrt{188} = \sqrt{4 \times 47} = 2\sqrt{47} \)

7. Найдем значения \( x_1 \) и \( x_2 \):

   \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) - 2\sqrt{47}}{2(2)} = \frac{6 - 2\sqrt{47}}{4} = \frac{3 - \sqrt{47}}{2} \)

   \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) + 2\sqrt{47}}{2(2)} = \frac{6 + 2\sqrt{47}}{4} = \frac{3 + \sqrt{47}}{2} \)

Оба корня \( x = \frac{3 - \sqrt{47}}{2} \) и \( x = \frac{3 + \sqrt{47}}{2} \) не равны 3 или -3, поэтому являются решениями уравнения.

Ответ: \(\frac{3 - \sqrt{47}}{2}; \frac{3 + \sqrt{47}}{2}\)