B3. Решите неравенство (3-x)/(2+x) ≥ 0

Для решения рационального неравенства \( \frac{3-x}{2+x} \geq 0 \) используем метод интервалов.

Важно: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \( 2+x
eq 0 \), то есть \( x
eq -2 \). При \( x = -2 \) неравенство не определено.

Приравняем числитель и знаменатель к нулю, чтобы найти критические точки:

• Числитель: \( 3 - x = 0 ightarrow x = 3 \)
• Знаменатель: \( 2 + x = 0 ightarrow x = -2 \)

Эти точки делят числовую ось на три интервала:

• \( (-\infty; -2) \)
• \( (-2; 3) \)
• \( (3; +\infty) \)

Теперь проверим знак выражения \( \frac{3-x}{2+x} \) в каждом интервале:

1. Интервал \( (-\infty; -2) \):

   Возьмем пробную точку, например, \( x = -3 \).

   \( \frac{3 - (-3)}{2 + (-3)} = \frac{3+3}{2-3} = \frac{6}{-1} = -6 \)

   Знак: минус (-).

2. Интервал \( (-2; 3) \):

   Возьмем пробную точку, например, \( x = 0 \).

   \( \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} \)

   Знак: плюс (+).

3. Интервал \( (3; +\infty) \):

   Возьмем пробную точку, например, \( x = 4 \).

   \( \frac{3 - 4}{2 + 4} = \frac{-1}{6} \)

   Знак: минус (-).

Нам нужно найти интервалы, где выражение \( \geq 0 \), то есть положительное или равное нулю.

Положительное значение мы получили на интервале \( (-2; 3) \).

Числитель может быть равен нулю, поэтому \( x = 3 \) включается в решение. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x = -2 \) не включается.

Таким образом, решением неравенства является интервал \( (-2; 3] \).

Ответ: \((-2; 3]\)