Билет 2: 1) Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Запишите формулы соотношений, основное тригонометрическое тождество. 2) Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Решение:

• 1. Тригонометрические функции острого угла:
• Синус (sin): Отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус (cos): Отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс (tg): Отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Формулы соотношений:
• \[ \sin \alpha = \frac{a}{c} \]
• \[ \cos \alpha = \frac{b}{c} \]
• \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
• Основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

• 2. Теорема об отношении площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Доказательство:
1. Пусть даны два подобных треугольника ABC и A'B'C' с коэффициентом подобия k.
2. \[ \frac{Area(ABC)}{Area(A'B'C')} = k^2 \]
3. \[ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k \]
4. \[ Area(ABC) = \frac{1}{2}ab \sin C \]
5. \[ Area(A'B'C') = \frac{1}{2}a'b' \sin C' \]
6. \[ \frac{Area(ABC)}{Area(A'B'C')} = \frac{\frac{1}{2}ab \sin C}{\frac{1}{2}a'b' \sin C'} = \frac{a}{a'} \cdot \frac{b}{b'} \cdot \frac{\sin C}{\sin C'} \]
7. Так как треугольники подобны, то

   \[ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = k \]

   и

   \[ C = C' \]

8. Следовательно,

   \[ \frac{Area(ABC)}{Area(A'B'C')} = k \cdot k \cdot 1 = k^2 \]