Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Билет 9: 1) Дайте определение подобных треугольников. Назовите признаки подобия треугольников. 2) Сформулируйте признаки параллелограмма. (Докажите один из них по выбору)
Ответ:
Решение:
- 1. Подобные треугольники: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
- Признаки подобия треугольников:
- По двум углам (AA): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- По двум сторонам и углу между ними (SAS): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
- По трем сторонам (SSS): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
- 2. Признаки параллелограмма:
- Признак 1: Если у четырехугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- Признак 2: Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- Признак 3: Если у четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм (это определение).
- Признак 4: Если у четырехугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- Признак 5: Если у четырехугольника две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- Доказательство (Признак 2: противоположные стороны попарно равны):
- Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого AB = CD и BC = DA.
- Проведем диагональ AC.
- Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
- AB = CD (по условию).
- BC = DA (по условию).
- AC = CA (общая сторона).
- По трем сторонам (
III признак равенства треугольников
), треугольники ABC и CDA равны. - Следовательно,
\[ \angle BAC = \angle DCA \]
. Это означает, что AB || CD. - Также,
\[ \angle BCA = \angle DAC \]
. Это означает, что BC || DA. - Так как противоположные стороны четырехугольника ABCD попарно параллельны, то ABCD — параллелограмм.
Похожие
- Билет 1: 1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору.
- Билет 2: 1) Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Запишите формулы соотношений, основное тригонометрическое тождество. 2) Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.
- Билет 3: 1) Сформулируйте определение и свойства параллелограмма. 2) Доказать, что диагонали прямоугольника равны.
- Билет 4: 1) Сформулируйте определение и свойства прямоугольника. 2) Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.
- Билет 5: 1) Назовите значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45°, 60°. 2) Сформулируйте и докажите свойства противоположных сторон и углов параллелограмма.
- Билет 6: 1) Дайте определение секущей и касательной к окружности. Сформулируйте свойство касательной к окружности. 2) Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника.
- Билет 7: 1) Сформулируйте определение и свойства ромба. 2) Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай).
- Билет 8: 1) Сформулируйте определение трапеции. Назовите виды трапеций, дайте определение каждого вида. 2) Сформулируйте и докажите свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.
- Билет 10: 1) Дайте определение центрального и вписанного углов окружности. Сформулируйте свойство вписанного угла. 2) Запишите формулы площадей параллелограмма, ромба, трапеции. Запишите вывод одной из формул (по выбору).
- Билет 11: 1) Расскажите о взаимном расположении двух окружностей, о касании окружностей. Общие касательные к двум окружностям. 2) Запишите формулу площади треугольника, следствия из нее, формулу Герона. Запишите вывод формулы площади треугольника.
