Билет 7: 1) Сформулируйте определение и свойства ромба. 2) Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай).

Решение:

• 1. Ромб: Параллелограмм, у которого все стороны равны.
• Свойства ромба:
• Все свойства параллелограмма.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
• Диагонали ромба делят его углы пополам.
• Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника.
• 2. Теорема о вписанном угле (частный случай: угол, опирающийся на диаметр): Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
• Доказательство:
1. Пусть дан вписанный угол ABC, опирающийся на диаметр AC.
2. Центр окружности O лежит на AC.
3. OA = OB = OC = R (радиусы).
4. Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный (OA=OB). Следовательно,

   \[ \angle OAB = \angle OBA \]

5. Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный (OB=OC). Следовательно,

   \[ \angle OCB = \angle OBC \]

6. Сумма углов треугольника ABC равна 180°:

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \]

7. Заменим

   \[ \angle BAC \]

   на

   \[ \angle OBA \]

   и

   \[ \angle BCA \]

   на

   \[ \angle OBC \]

\[ \angle OBA + \angle ABC + \angle OBC = 180^{\circ} \]

8. Так как

   \[ \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC \]

   , то:

   \[ \angle ABC + \angle ABC = 180^{\circ} \]

9. $$2 \angle ABC = 180^{\circ}$$

   \[ \angle ABC = 90^{\circ} \]