Билет 8: 1) Сформулируйте определение трапеции. Назовите виды трапеций, дайте определение каждого вида. 2) Сформулируйте и докажите свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.

Решение:

• 1. Трапеция: Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
• Виды трапеций:
• Равнобедренная трапеция: Трапеция, у которой боковые стороны равны.
• Прямоугольная трапеция: Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (и, следовательно, равна высоте).
• 2. Свойство отрезков касательных: Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
• Доказательство:
1. Пусть из точки P проведены касательные PA и PB к окружности с центром O.
2. PA и PB — отрезки касательных, OA и OB — радиусы, проведенные в точки касания.

3. \[ OA \perp PA \quad \text{и} \quad OB \perp PB \]

   (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
4. Рассмотрим треугольники OAP и OBP.
5. OA = OB (радиусы).
6. OP — общая гипотенуза.

7. \[ \angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ} \]

8. По гипотенузе и катету (

   II признак равенства прямоугольных треугольников

   ), треугольники OAP и OBP равны.
9. Следовательно, PA = PB.