Билет 4: 1) Сформулируйте определение и свойства прямоугольника. 2) Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Решение:

• 1. Прямоугольник: Параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90°).
• Свойства прямоугольника:
• Все свойства параллелограмма.
• Диагонали равны.
• 2. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• Доказательство:
1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
2. Гипотенуза — AB (обозначим c), катеты — AC (b) и BC (a).
3. Нужно доказать, что

   \[ c^2 = a^2 + b^2 \]

4. Построим квадрат со стороной (a+b). Площадь этого квадрата равна

   \[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

5. Внутри этого большого квадрата разместим четыре прямоугольных треугольника с катетами a и b, и гипотенузой c.
6. Площадь каждого такого треугольника равна

   \[ \frac{1}{2}ab \]

7. Сумма площадей четырех таких треугольников равна

   \[ 4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab \]

8. Площадь внутреннего квадрата со стороной c равна

   \[ c^2 \]

9. Площадь большого квадрата также равна сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата:

\[ (a+b)^2 = 2ab + c^2 \]

10. Приравнивая два выражения для площади большого квадрата, получаем:

\[ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \]

11. Вычитая 2ab из обеих частей, получаем:

    \[ a^2 + b^2 = c^2 \]