Билет № 5. 2. Докажите свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника:

Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой и высотой.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и проведем биссектрису BD к основанию AC.

1. Шаг 1: По определению биссектрисы, угол ABD равен углу CBD (∠ABD = ∠CBD).
2. Шаг 2: Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:
   • AB = BC (по условию, равнобедренный треугольник).
   • ∠BAC = ∠BCA (по условию, углы при основании равны).
   • ∠ABD = ∠CBD (по построению, BD – биссектриса).
4. Шаг 4: По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольники ABD и CBD равны.
5. Шаг 5: Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны. Следовательно:
   • AD = CD (BD – медиана).
   • ∠BDA = ∠BDC.
6. Шаг 6: Углы ∠BDA и ∠BDC являются смежными, их сумма равна 180°. Так как они равны между собой, то каждый из них равен 90° (180° / 2 = 90°). Следовательно, BD является высотой треугольника.

Таким образом, биссектриса BD к основанию равнобедренного треугольника является также медианой и высотой.