Билет № 5. 2. Докажите свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Краткое пояснение:

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, а AD — биссектриса угла A (D лежит на BC).

1. По условию: AB = AC (боковые стороны равны).
2. По определению биссектрисы: ∠BAD = ∠CAD.
3. Рассмотрим треугольники ABD и ACD:
   • AB = AC (по условию).
   • ∠BAD = ∠CAD (по определению биссектрисы).
   • AD — общая сторона.
4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Треугольник ABD равен треугольнику ACD.
5. Из равенства треугольников следует:
   • BD = CD (следовательно, AD — медиана, так как делит основание BC пополам).
   • ∠ADB = ∠ADC. Так как эти углы смежные, их сумма равна 180°. Следовательно, ∠ADB = ∠ADC = 180° / 2 = 90°. (Следовательно, AD — высота).

Таким образом, биссектриса AD к основанию равнобедренного треугольника является также медианой и высотой.