Билет № 7. 2. Сформулируйте определение вертикальных углов. Докажите свойства вертикальных углов.

Краткое пояснение:

Определение вертикальных углов:

Два угла называются вертикальными, если их стороны являются противоположными лучами. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.

Свойства вертикальных углов:

1. Вертикальные углы равны.
2. Сумма вертикальных углов с любым из смежных с ними углов равна 180°.

Доказательство:

Пусть две прямые AB и CD пересекаются в точке O. Образуются четыре угла: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4.

1. Вертикальные углы: ∠1 и ∠3 — вертикальные; ∠2 и ∠4 — вертикальные.
2. Смежные углы: ∠1 и ∠2 — смежные; ∠2 и ∠3 — смежные; ∠3 и ∠4 — смежные; ∠4 и ∠1 — смежные.
3. Рассмотрим смежные углы ∠1 и ∠2:
   По свойству смежных углов, ∠1 + ∠2 = 180°.
4. Рассмотрим смежные углы ∠2 и ∠3:
   По свойству смежных углов, ∠2 + ∠3 = 180°.
5. Из равенств следует:
   ∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3
   Вычитая ∠2 из обеих частей, получаем:
   ∠1 = ∠3.
6. Аналогично доказываем для ∠2 и ∠4:
   ∠1 + ∠2 = 180° (смежные ∠1 и ∠2)
   ∠1 + ∠4 = 180° (смежные ∠1 и ∠4)
   ∠1 + ∠2 = ∠1 + ∠4
   ∠2 = ∠4.

Таким образом, вертикальные углы равны.