Билет 6. 2. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. Доказать следствия из аксиомы параллельных.

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

Следствие 1. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Доказательство: пусть a ∥ c и b ∥ c. Если бы a и b пересекались в точке P, то через P проходили бы две различные прямые, параллельные c, что противоречит аксиоме. Следовательно, a ∥ b.

Следствие 2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Доказательство: обе прямые перпендикулярны c, значит, образуют с c прямой угол. Если бы они пересекались, через точку пересечения проходили бы две прямые, перпендикулярные c; но прямая, перпендикулярная данной через заданную точку, единственна. Поэтому прямые не пересекаются и параллельны.