Билет 8. 4) В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°, а биссектриса этого угла 8 см. Найдите длину катета, лежащего против этого угла.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90° \). Пусть \( \angle A = 60° \). Тогда \( \angle B = 180° - 90° - 60° = 30° \).

Пусть \( CL \) — биссектриса угла \( \angle C \). Тогда \( \angle ACL = \angle BCL = \frac{90°}{2} = 45° \).

В условии задачи сказано, что острый угол равен 60°. Предположим, это угол A (\( \angle A = 60° \)). Тогда биссектриса проведена из этого угла.

Пусть \( AL \) — биссектриса \( \angle A \). Тогда \( \angle CAL = \angle BAL = \frac{60°}{2} = 30° \).

\( AL = 8 \) см.

Рассмотрим \( \triangle ABL \).

\( \angle A = 60° \)

\( \angle B = 30° \)

\( \angle ALB = 180° - 60° - 30° = 90° \)

Значит, \( \triangle ABL \) — прямоугольный.

В \( \triangle ABL \):

\( AL \) — гипотенуза, \( AL = 8 \) см.

Катет \( BL \) лежит против угла \( \angle BAL = 30° \). Следовательно, \( BL = \frac{1}{2} AL = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \) см.

Катет \( AB \) лежит против угла \( \angle ALB = 90° \). Следовательно, \( AB \) — гипотенуза \( \triangle ABL \).

\( AB = AL \cdot \cos(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle C = 90° \), \( \angle A = 60° \), \( \angle B = 30° \). Мы ищем катет \( BC \), который лежит против угла \( \angle A = 60° \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \):

\( BC = AB \cdot \sin(\angle A) = AB \cdot \sin(60°) \)

\( BC = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \) см.

Ответ: 6 см.