Билет 7. 2. Доказать свойства смежных и вертикальных углов.

Доказательство свойств углов:

1. Смежные углы:

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой.

Свойство: Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство: Пусть углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOC \) — смежные. Они опираются на прямую AB. Их сумма равна развернутому углу \( \angle AOB \), который составляет 180°. Следовательно, \( \angle AOC + \angle BOC = 180° \).

2. Вертикальные углы:

Два угла называются вертикальными, если их стороны составляют пары противоположных лучей.

Свойство: Вертикальные углы равны.

Доказательство: Пусть \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — вертикальные углы, \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) — вертикальные углы. Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — смежные, поэтому \( \angle 1 + \angle 2 = 180° \). Углы \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — смежные, поэтому \( \angle 2 + \angle 3 = 180° \). Отсюда следует, что \( \angle 1 = \angle 3 \). Аналогично доказывается, что \( \angle 2 = \angle 4 \).