Билет 6. 2. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. Докажите следствия из аксиомы параллельных.

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

Следствие 1. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.

Доказательство. Пусть a ∥ c и b ∥ c. Если бы a и b пересекались в точке P, то через P проходили бы две различные прямые a и b, параллельные c. Это противоречит аксиоме параллельных. Следовательно, a и b не пересекаются и параллельны.

Следствие 2. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство. Пусть a ∥ b, а прямая c пересекает a. Предположим, что c не пересекает b. Тогда c ∥ b. Получилось бы, что через точку пересечения c и a проходят две различные прямые a и c, параллельные b. Это противоречит аксиоме. Значит, c пересекает b.