Контрольные задания
Вопрос:

Билет №7. 1. Четырехугольники. Виды четырехугольников. Определения. 2. Теорема о площади треугольника (с доказательством). Следствие. 3. Задача.

Фото задания: Билет №7. 1. Четырехугольники. Виды четырехугольников. Определения. 2. Теорема о площади треугольника (с доказательством).…Фото задания

Ответ:

Билет №7

  1. Четырёхугольники. Виды четырёхугольников. Определения

    Четырёхугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами.

    Виды четырёхугольников:

    • Трапеция: четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие (боковые стороны) — нет.
    • Параллелограмм: четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
      • Прямоугольник: параллелограмм, у которого все углы прямые.
      • Ромб: параллелограмм, у которого все стороны равны.
      • Квадрат: прямоугольник, у которого все стороны равны (частный случай прямоугольника и ромба).
    • Выпуклый четырёхугольник: все углы меньше 180°.
    • Невыпуклый (вогнутый) четырёхугольник: один угол больше 180°.
  2. Теорема о площади треугольника (с доказательством). Следствие

    Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, проведённую к этому основанию.

    \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \]

    где \( a \) — длина основания, \( h_a \) — высота, проведённая к основанию \( a \).

    Доказательство:

    Рассмотрим треугольник ABC. Проведём высоту BH к основанию AC. Опустим из вершины B перпендикуляр BH на прямую AC. Длина этого перпендикундикуляра \( h_a \) — высота треугольника.

    Случай 1: Треугольник остроугольный.

    Построим прямоугольник ABEF, где E и F — точки на продолжении сторон, так, чтобы AB и BC были его сторонами или диагоналями. Не совсем корректное начало. Сделаем проще:

    Достроим треугольник ABC до прямоугольника ABMC. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон \( AB \cdot BC \). Диагональ BC делит прямоугольник на два равных треугольника. Площадь \( \triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \). Это работает для прямоугольного треугольника.

    Корректное доказательство:

    Пусть дан треугольник ABC. Проведём высоту BH к основанию AC. Рассмотрим два случая:

    1. Остроугольный треугольник:

    Достроим треугольник ABC до прямоугольника ABED, где E и D — точки, такие что ABED — прямоугольник. Площадь прямоугольника ABED равна \( AB \cdot h \), где \( h \) — высота, проведённая из B к AB. Площадь треугольника ABC равна половине площади прямоугольника ABED. Эта высота не та. Нужна высота к основанию.

    Правильное доказательство:

    Рассмотрим треугольник ABC. Проведём высоту BH к основанию AC. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC, проведя через B прямую, параллельную AC, и через C — прямую, параллельную AB. Диагональ BC делит параллелограмм ABDC на два равных треугольника: \( \triangle ABC = \triangle DCB \). Площадь параллелограмма равна произведению основания AC на высоту BH. То есть \( S_{ABDC} = AC \cdot BH \).

    Так как \( S_{ABC} = S_{DCB} \) и \( S_{ABDC} = S_{ABC} + S_{DCB} = 2 \cdot S_{ABC} \), то

    \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABDC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH \]

    Следствие: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

    Если \( \triangle ABC \) — прямоугольный с прямым углом при C, то катеты AC и BC являются основанием и высотой друг к другу. Тогда

    \[ S = \frac{1}{2} AC \cdot BC \]

  3. Задача