Билет № 9, 1) Дайте определение секущей и касательной к окружности. Сформулируйте свойство касательной к окружности.

Определения:

• Секущая — это прямая, которая имеет с окружностью две общие точки.
• Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Точка, в которой касательная пересекает окружность, называется точкой касания.

Свойство касательной к окружности:

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Доказательство:

Предположим, что касательная AB к окружности с центром O имеет точку касания M. Если бы радиус OM не был перпендикулярен касательной AB, то можно было бы провести из точки O перпендикуляр OK к прямой AB. Тогда OK было бы короче OM (как катет прямоугольного треугольника OKM, где OM — гипотенуза). Это означало бы, что точка K находится внутри окружности, и прямая AB имела бы две точки пересечения с окружностью (точку K и еще одну точку на окружности, симметричную K относительно M, если O лежит на перпендикуляре к AB, проходящем через M), что противоречит определению касательной.

Следовательно, радиус OM, проведенный в точку касания M, должен быть перпендикулярен касательной AB.