Билет № 11, 2) Запишите формулу площади треугольника, следствия из нее, формулу Герона. Запишите вывод формулы площади треугольника.

Формула площади треугольника:

S = rac{1}{2} imes a imes h_a, где a — основание, h_a — высота, проведенная к этому основанию.

Следствия:

• Если треугольник прямоугольный, то S = rac{1}{2} imes a imes b, где a и b — катеты.
• Если треугольник равносторонний со стороной a, то S = rac{√{3}}{4} a^2.

Формула Герона:

S = √{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где a, b, c — стороны треугольника, а p — полупериметр (p = rac{a+b+c}{2}).

Вывод формулы площади треугольника (S = rac{1}{2}ah):

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем высоту BH к стороне AC. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Если угол A острый:

Площадь прямоугольного треугольника ABH равна rac{1}{2} imes AH imes BH.

Площадь прямоугольного треугольника CBH равна rac{1}{2} imes HC imes BH.

Площадь треугольника ABC = S_{ riangle ABH} + S_{ riangle CBH} = rac{1}{2} imes AH imes BH + rac{1}{2} imes HC imes BH = rac{1}{2} imes BH imes (AH + HC) = rac{1}{2} imes BH imes AC.

Так как BH = h_a и AC = a, то S = rac{1}{2} imes a imes h_a.

Если угол A тупой:

Площадь треугольника ABC = S_{ riangle CBH} - S_{ riangle ABH} = rac{1}{2} imes HC imes BH - rac{1}{2} imes AH imes BH = rac{1}{2} imes BH imes (HC - AH) = rac{1}{2} imes BH imes AC.

S = rac{1}{2} imes a imes h_a.