Билет № 11, 2) Запишите формулу площади треугольника, следствия из нее, формулу Герона. Запишите вывод формулы площади треугольника.

Формула площади треугольника:

S = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) a \(\times\) h_a, где a — основание, h_a — высота, проведенная к этому основанию.

Следствия:

• Если треугольник прямоугольный, то S = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) a \(\times\) b, где a и b — катеты.
• Если треугольник равносторонний со стороной a, то S = \(\frac{√{3}}{4}\) a^2.

Формула Герона:

S = √{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где a, b, c — стороны треугольника, а p — полупериметр \(p = \frac{a+b+c}{2}\).

Вывод формулы площади треугольника \(S = \frac{1}{2}ah\):

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем высоту BH к стороне AC. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Если угол A острый:

Площадь прямоугольного треугольника ABH равна \(\frac{1}{2}\) \(\times\) AH \(\times\) BH.

Площадь прямоугольного треугольника CBH равна \(\frac{1}{2}\) \(\times\) HC \(\times\) BH.

Площадь треугольника ABC = S_{\(\triangle\) ABH} + S_{\(\triangle\) CBH} = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) AH \(\times\) BH + \(\frac{1}{2}\) \(\times\) HC \(\times\) BH = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) BH \(\times\) (AH + HC) = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) BH \(\times\) AC.

Так как BH = h_a и AC = a, то S = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) a \(\times\) h_a.

Если угол A тупой:

Площадь треугольника ABC = S_{\(\triangle\) CBH} - S_{\(\triangle\) ABH} = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) HC \(\times\) BH - \(\frac{1}{2}\) \(\times\) AH \(\times\) BH = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) BH \(\times\) (HC - AH) = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) BH \(\times\) AC.

S = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) a \(\times\) h_a.