Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Формула площади треугольника:
Через основание и высоту:
\[ S = \frac{1}{2} a \cdot h_a \]где 'a' — длина стороны треугольника, 'h_a' — высота, проведенная к этой стороне.
Следствия из формулы:
- Если треугольники имеют равные основания и равные высоты, то их площади равны.
- Если треугольники имеют равные основания, а высоты относятся как k, то и площади их относятся как k.
- Если треугольники имеют равные высоты, а основания относятся как k, то и площади их относятся как k.
Формула Герона (для вычисления площади по трем сторонам):
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]где 'a', 'b', 'c' — длины сторон треугольника, а 'p' — полупериметр (p = (a+b+c)/2).
Вывод формулы площади треугольника (через основание и высоту):
Рассмотрим произвольный треугольник ABC.
Случай 1: Остроугольный треугольник.
Проведем высоту BH к стороне AC. Высота делит основание AC на два отрезка: AH и HC. Площадь треугольника ABC можно представить как сумму площадей двух прямоугольных треугольников: ABH и CBH.
S_ABC = S_ABH + S_CBH
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В прямоугольном треугольнике ABH катеты — AH и BH (высота). В треугольнике CBH катеты — HC и BH.
S_ABH = 1/2 * AH * BH
S_CBH = 1/2 * HC * BH
S_ABC = 1/2 * AH * BH + 1/2 * HC * BH = 1/2 * BH * (AH + HC)
Поскольку AH + HC = AC (основание), то:
S_ABC = 1/2 * BH * AC = 1/2 * a * h_a
Случай 2: Тупоугольный треугольник.
Пусть угол C тупой. Проведем высоту BH к стороне AC (точнее, к ее продолжению).
Площадь треугольника ABC равна разности площадей двух прямоугольных треугольников: ABH и CBH.
S_ABC = S_ABH - S_CBH
S_ABH = 1/2 * AH * BH
S_CBH = 1/2 * CH * BH
AH = AC + CH
S_ABC = 1/2 * (AC + CH) * BH - 1/2 * CH * BH
S_ABC = 1/2 * AC * BH + 1/2 * CH * BH - 1/2 * CH * BH
S_ABC = 1/2 * AC * BH = 1/2 * a * h_a
Вывод доказан.
