Билет № 9, 2) Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника.

Свойство диагоналей прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Проведем диагонали AC и BD.

1. Равенство диагоналей:

• Рассмотрим треугольники ABC и BAD.
• AB — общая сторона.
• BC = AD (противоположные стороны прямоугольника).
• Угол ABC = Угол BAD = 90° (по определению прямоугольника).
• Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
• Из равенства треугольников следует, что AC = BD. То есть диагонали равны.

2. Точка пересечения делит диагонали пополам:

• Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
• Рассмотрим треугольники AOB и COD.
• AB = CD (противоположные стороны прямоугольника).
• Угол OAB = Угол OCD (как накрест лежащие при AD || BC и секущей AC).
• Угол OBA = Угол ODC (как накрест лежащие при AB || DC и секущей BD).
• Следовательно, треугольники AOB и COD равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
• Из равенства треугольников следует, что AO = OC и BO = OD.

Вывод: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.