Билет № 9, 2) Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника.

Свойство диагоналей прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в одной точке, которая делит каждую диагональ пополам.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Проведем диагонали AC и BD. Они пересекаются в точке O.

Равенство диагоналей:

Рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них:

• AB — общая сторона.
• ∠ABC = ∠BAD = 90° (углы прямоугольника).
• BC = AD (противоположные стороны прямоугольника).

По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), ΔABC = ΔBAD. Следовательно, AC = BD.

Точка пересечения делит диагонали пополам:

Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них:

• AB = CD (противоположные стороны прямоугольника).
• ∠BAO = ∠DCO (накрест лежащие углы при параллельных AB и CD и секущей AC).
• ∠ABO = ∠CDO (накрест лежащие углы при параллельных AB и CD и секущей BD).

По двум углам и стороне между ними (признак равенства треугольников), ΔAOB = ΔCOD. Следовательно, AO = OC и BO = OD.

Аналогично доказывается равенство треугольников BOC и DOA, откуда следует, что AO = OC и BO = OD.