Билет № 10, 4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Краткая запись:

• Трапеция равнобедренная.
• Основания a = 8, b = 18.
• Периметр P = 56.
• Найти: Площадь S — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Периметр равнобедренной трапеции P = a + b + 2c, где c — длина боковой стороны.
2. Шаг 2: Подставляем известные значения: 56 = 8 + 18 + 2c.
3. Шаг 3: Решаем уравнение для c: 56 = 26 + 2c &implies; 2c = 30 &implies; c = 15.
4. Шаг 4: Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Она разделит большее основание на три отрезка: 8 (равный меньшему основанию) и два одинаковых отрезка (18 - 8) / 2 = 10 / 2 = 5.
5. Шаг 5: Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой (боковая сторона) 15 и одним катетом 5. Найдем второй катет (высоту h) по теореме Пифагора: h² + 5² = 15².
6. Шаг 6: Вычисляем высоту: h² + 25 = 225 &implies; h² = 200 &implies; h = √{200} = 10√{2}.
7. Шаг 7: Найдем площадь трапеции по формуле: S = rac{a+b}{2} imes h.
8. Шаг 8: S = rac{8+18}{2} imes 10√{2} = rac{26}{2} imes 10√{2} = 13 imes 10√{2} = 130√{2}.

Ответ: Площадь трапеции равна 130√{2}.