Билет № 10, 4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Дано:

• Равнобедренная трапеция ABCD
• Основания a = 18, b = 8
• Периметр P = 56

Найти:

• Площадь S

Решение:

1. Находим длину боковой стороны:

Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон: P = a + b + 2c (где c — длина боковой стороны).

56 = 18 + 8 + 2c

56 = 26 + 2c

2c = 56 - 26

2c = 30

c = 15

Длина каждой боковой стороны равна 15.

2. Находим высоту трапеции:

Чтобы найти высоту, проведем из концов меньшего основания (b=8) две высоты к большему основанию (a=18). Получится прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.

Большее основание (18) будет состоять из отрезка, равного меньшему основанию (8), и двух равных отрезков у боковых сторон. Длина каждого такого отрезка равна (18 - 8) / 2 = 10 / 2 = 5.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза (боковая сторона) c = 15
• Один катет (часть большего основания) = 5
• Второй катет — это высота (h) трапеции.

По теореме Пифагора:

c² = 5² + h²

15² = 5² + h²

225 = 25 + h²

h² = 225 - 25

h² = 200

h = √200 = √(100 * 2) = 10√2

Высота трапеции равна 10√2.

3. Находим площадь трапеции:

Используем формулу площади трапеции: S = (a+b)/2 * h

S = (18 + 8) / 2 * 10√2

S = 26 / 2 * 10√2

S = 13 * 10√2

S = 130√2

Ответ: Площадь трапеции равна 130√2.