C1. а) Даны множества A3 всех натуральных чисел, кратных числу 3; множество A4 всех натуральных чисел, кратных 4, и т. д. до множества A10. Сколько можно составить из этих восьми множеств пар, в каждой из которых одно множество является подмножеством другого? б) Даны множества A3 всех натуральных чисел, которые дают остаток 3 при делении на 3; множество A4 всех натуральных чисел, которые дают остаток 3 при делении на 4, и т. д. до множества A9 всех натуральных чисел, дающих остаток 3 при делении на 9. Сколько можно составить из этих семи множеств пар, в каждой из которых одно множество является подмножеством другого?

а) Если одно число делится на другое, множество чисел, кратных большему из них, является подмножеством множества чисел, кратных меньшему. Для чисел от 3 до 10 получаем пары делителей: (3, 6), (3, 9), (4, 8), (5, 10), (3, 6? уже учтено). Дополнительно пары (2, …) не подходят, поскольку в списке чисел нет 2. Также (3, …) — только 6 и 9; (4, …) — 8; (5, …) — 10.

Итак, таких пар 5: (3,6), (3,9), (4,8), (5,10), а также (3,?); пересчёт даёт ровно 4 пары. В каждой из них меньший индекс делит больший.

Ответ: а) 4 пары.

б) Для множества A_m его элементы имеют вид 3+km, где k — целое неотрицательное число (для m=3 это числа, кратные 3). Условие A_m ⊆ A_n выполняется, когда n делит m и остаток 3 допустим для обоих модулей. Среди модулей 3–9 подходят пары: (3,6), (3,9), (4,8), (6,9) — последняя не подходит, поскольку 9 не делит 6; остаются первые три. Кроме того, A₃ содержит только числа, кратные 3, и включается в A₆ и A₉.

Ответ: б) 3 пары: (A₃, A₆), (A₃, A₉), (A₄, A₈).