C2. ABCD — трапеция, в которой $\angle A=90^\circ$, $\angle ACB=45^\circ$, $\angle ACD=90^\circ$, AB = a. Найдите величины $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DC}|$ и $|AB|-|CB|-|DC|$.

Question

Вопрос: $Фото задания: C2. ABCD — трапеция, в которой $\angle A=90^\circ$, $\angle ACB=45^\circ$, $\angle ACD=90^\circ$, AB = a. Найдите…$ Фото задания

C2. ABCD — трапеция, в которой $\angle A=90^\circ$, $\angle ACB=45^\circ$, $\angle ACD=90^\circ$, AB = a. Найдите величины $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DC}|$ и $|AB|-|CB|-|DC|$.

Accepted Answer

Пусть $A=(0,0)$, $B=(0,a)$, а основания BC и AD горизонтальны. Из $\angle ACB=45^\circ$ следует, что горизонтальное расстояние от B до C равно вертикальному, то есть $C=(a,a)$. Условие $\angle ACD=90^\circ$ и расположение D на основании AD дают $D=(2a,0)$.

Тогда $\overrightarrow{AB}=(0,a)$, $\overrightarrow{CB}=(-a,0)$, $\overrightarrow{DC}=(-a,a)$. Поэтому $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DC}=(0,a)-(-a,0)-(-a,a)=(2a,0)$, и длина этого вектора равна $2a$.

Далее, $|AB|=a$, $|CB|=a$, $|DC|=a\sqrt2$. Следовательно, $\bigl||AB|-|CB|-|DC|\bigr|=|a-a-a\sqrt2|=a\sqrt2$.

Ответ: $2a$ и $a\sqrt2$.

C2. ABCD — трапеция, в которой \(\angle A=90^\circ\), \(\angle ACB=45^\circ\), \(\angle ACD=90^\circ\), AB = a. Найдите величины \(|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DC}|\) и \(|AB|-|CB|-|DC|\).

Ответ: