241 Сравните углы треугольника АВС и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ > BC > АС; б) AB = AC < BC.

Для решения данной задачи необходимо вспомнить теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

а) Дано: АВ > BC > AC. Необходимо сравнить углы треугольника ABC и выяснить, может ли угол А быть тупым.

По теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника:

против стороны АВ лежит угол С;

против стороны ВС лежит угол А;

против стороны АС лежит угол В.

Так как АВ > BC > AC, то ∠C > ∠A > ∠B.

Предположим, что угол А - тупой, то есть ∠A > 90°. Тогда ∠C > ∠A > 90°, следовательно, ∠C > 90°.

Сумма углов треугольника равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Но если ∠A > 90° и ∠C > 90°, то ∠A + ∠C > 180°, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. Следовательно, угол А не может быть тупым.

б) Дано: AB = AC < BC. Необходимо сравнить углы треугольника ABC и выяснить, может ли угол А быть тупым.

Так как AB = AC, то треугольник ABC - равнобедренный с основанием BC. Следовательно, углы при основании равны, то есть ∠B = ∠C.

По теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, против стороны BC лежит угол А, а против сторон AB и AC лежат углы C и B соответственно.

Так как AB = AC < BC, то ∠B = ∠C < ∠A.

Сумма углов треугольника равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Так как ∠B = ∠C, то ∠A + 2∠B = 180°. Выразим ∠B: ∠B = (180° - ∠A) / 2.

Если угол А тупой, то есть ∠A > 90°, то 180° - ∠A < 90°. Следовательно, ∠B = (180° - ∠A) / 2 < 45°.

Таким образом, ∠A > 90°, ∠B < 45° и ∠C < 45°, что удовлетворяет условию ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Следовательно, угол А может быть тупым.

Ответ: a) Угол А не может быть тупым; б) Угол А может быть тупым.