244 Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, в котором BM - медиана, а BH - высота, проведенные из вершины B к стороне AC.

1) Если треугольник ABC - равнобедренный (AB = BC) и BM проведена к основанию AC, то BM является и медианой, и высотой. В этом случае BM = BH.

2) Если треугольник ABC - равносторонний, то любая медиана является и высотой. В этом случае BM = BH.

3) Если треугольник ABC - прямоугольный, и BM проведена из вершины прямого угла B к гипотенузе AC, то BM является и высотой. В этом случае BM = BH.

4) Рассмотрим случай, когда треугольник ABC - разносторонний.

Точка M - середина стороны AC, следовательно, AM = MC.

Высота BH перпендикулярна стороне AC, следовательно, образует прямой угол с AC (∠BHA = 90°).

Если BH и BM совпадают, то BM = BH.

Если BH и BM не совпадают, то получается прямоугольный треугольник BHM, в котором BM - гипотенуза, а BH - катет.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета, следовательно, BM > BH.

В любом случае медиана BM не меньше высоты BH, проведенной из той же вершины B.

Ответ: В треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины, что и требовалось доказать.