249 Отрезок AD - биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторо- ну АВ в точке Е. Докажите, что треугольник ADE равнобед- ренный.

Дано: треугольник ABC, AD - биссектриса угла A, DE || AC, E ∈ AB.

Доказать: треугольник ADE - равнобедренный.

Доказательство:

1) Так как AD - биссектриса угла A, то ∠BAD = ∠CAD.

2) Так как DE || AC, то ∠ADE = ∠CAD как накрест лежащие углы при параллельных прямых DE и AC и секущей AD.

3) Из равенств ∠BAD = ∠CAD и ∠ADE = ∠CAD следует, что ∠BAD = ∠ADE.

4) В треугольнике ADE углы при стороне AE равны (∠BAD = ∠ADE), следовательно, треугольник ADE - равнобедренный с основанием AE.

Ответ: Треугольник ADE равнобедренный, что и требовалось доказать.