247 Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобе- дренный.

Пусть дан треугольник ABC, и биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC.

Доказать: треугольник ABC - равнобедренный.

Доказательство:

1) Обозначим внешний угол при вершине B как ∠EBC, где E - точка на продолжении стороны AB за точку B.

2) Пусть биссектриса внешнего угла ∠EBC параллельна стороне AC. Обозначим эту биссектрису как BD, где D - некоторая точка.

3) Так как BD || AC, то ∠DBC = ∠BCA как соответственные углы при параллельных прямых BD и AC и секущей BC.

4) Так как BD - биссектриса угла ∠EBC, то ∠EBD = ∠DBC.

5) Также, так как BD || AC, то ∠EBD = ∠BAC как соответственные углы при параллельных прямых BD и AC и секущей AB.

6) Из равенств ∠DBC = ∠BCA и ∠EBD = ∠BAC следует, что ∠BCA = ∠BAC.

7) В треугольнике ABC углы при стороне AC равны (∠BCA = ∠BAC), следовательно, треугольник ABC - равнобедренный.

Ответ: Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный, что и требовалось доказать.