525. Через точку С окружности с центром О провели касательную к этой окружности, АВ – диаметр окружности. Из точки А на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч АС – биссектриса уг- ла BAD.

Ответ: Доказательство ниже.

• Дано: Окружность с центром O, AB - диаметр, CD - касательная в точке C, AD ⊥ CD.
• Доказать: AC - биссектриса ∠BAD.
• Доказательство:
  • ∠ACB = 90° (т.к. AB - диаметр).
  • ∠ADC = 90° (т.к. AD ⊥ CD).
  • ∠DAC = 90° - ∠ACD.
  • ∠BAC = 90° - ∠ABC.
  • ∠ACD = ∠ABC (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду).
  • Следовательно, ∠DAC = ∠BAC. Значит, AC - биссектриса ∠BAD.

Ответ: Доказательство выше.