522. В окружности провели диаметр АВ и хорды АС и CD так, что AC = 12 см, ∠BAC = 30°, AB 1 CD. Найдите длину хорды CD.

Ответ: CD = 12 см.

1. Пусть O - центр окружности, E - точка пересечения AB и CD. Т.к. AB ⊥ CD, то CE = ED.
2. Рассмотрим ΔABC: ∠C = 90° (т.к. AB - диаметр), AC = 12 см, ∠BAC = 30°. Значит, BC = 1/2 AB (катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы).
3. ∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 30° = 60°.
4. Рассмотрим ΔBCE: ∠BEC = 90°, ∠EBC = 60°, BC = 1/2 AB. Значит, ∠BCE = 30°.
5. CE = BC * cos ∠BCE = BC * cos 30° = BC * √3/2.
6. AB = AC / cos ∠BAC = 12 / cos 30° = 12 / (√3/2) = 24/√3 = 8√3.
7. BC = 1/2 AB = 1/2 * 8√3 = 4√3.
8. CE = BC * √3/2 = 4√3 * √3/2 = 6.
9. CD = 2 * CE = 2 * 6 = 12 см.

Ответ: CD = 12 см.