11. Четыре друга А, Б, В, Г заселяются в гостиницу в два двухместных номера. Администратор гостиницы распределяет их по номерам случайным образом. Найдите вероятность того, что А и Б оказались в одном номере.

Применим протокол Я.

1. Определим цель задания: вычислить вероятность того, что А и Б окажутся в одном номере.
2. Составим краткий план решения: определим общее количество способов распределить четырех друзей по двум двухместным номерам, определим количество способов, при которых А и Б окажутся в одном номере, вычислим вероятность.
3. Выполним подробный анализ:

Общее количество способов распределить четырех друзей по двум двухместным номерам:

Сначала выбираем двух друзей для первого номера, а остальные два автоматически попадают во второй номер. Количество способов: $$C_4^2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$

Количество способов, при которых А и Б окажутся в одном номере:

А и Б выбрали в первый номер, тогда выбираем 2 из оставшихся для второго номера, $$C_2^2=1$$. Или А и Б выбрали во второй номер, тогда выбираем 2 из оставшихся в первый номер, $$C_2^2 = 1$$. Получаем, что А и Б в одном номере в 2 случаях, а тогда надо разделить на два случая выбора номеров, так как они равновероятны, поэтому умножаем на 2, т.е. $$C_2^0 \cdot 2=2$$

Количество способов, при которых А и Б в одном номере: Выберем, в каком номере они будут (2 варианта). Оставшихся В и Г распределяем по одному в каждый номер (1 вариант). Итого 2 способа.

Вероятность того, что А и Б окажутся в одном номере, вычисляется как отношение количества способов, при которых А и Б окажутся в одном номере, к общему количеству способов распределить четырех друзей по двум двухместным номерам.

Вероятность $$P = \frac{\text{Количество способов, при которых А и Б в одном номере}}{\text{Общее количество способов распределения}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ответ: 1/3