8. Учитель нарисовал на доске квадрат ABCD и случайно выбирает две вершины. Какова вероятность того, что выбранные вершины соединяются диагональю?

Применим протокол Я.

1. Определим цель задания: вычислить вероятность того, что случайно выбранные две вершины квадрата соединяются диагональю.
2. Составим краткий план решения: определим общее количество способов выбрать две вершины из четырех, определим количество способов выбрать две вершины, соединяющие диагональ, вычислим вероятность.
3. Выполним подробный анализ:

Общее количество способов выбрать две вершины из четырех: $$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$

Способы выбрать две вершины, соединяющие диагональ: (A, C), (B, D). Количество способов: 2.

Вероятность того, что выбранные вершины соединяются диагональю, вычисляется как отношение количества способов выбрать две вершины, соединяющие диагональ, к общему количеству способов выбрать две вершины из четырех.

Вероятность $$P = \frac{\text{Количество способов выбрать диагональ}}{\text{Общее количество способов выбрать две вершины}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ответ: 1/3